Решение интегралов заменой. Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Примеры решений
Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием
удаётся не всегда. Одним из наиболее эффективных приёмов
является метод подстановки или замены переменной интегрирования.
Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной интегрирования удаётся свести заданный интеграл к
новому интегралу, который берётся непосредственным интегрированием.
Рассмотрим этот метод:
Пусть - непрерывная функция
необходимо найти: (1)
Сделаем замену переменной интегрирования:
где φ (t) – монотонная функция, которая имеет непрерывную производную
и существует сложная функция f (φ (t)).
Применив к F (х) = F(φ (t)) формулу дифференцирования сложной
функции, получим:
﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)
Но F′(x) = f (x) = f (φ (t)), поэтому
﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)
Таким образом, функция F(φ (t)) является первообразной для функции
f (φ (t)) ∙ φ′ (t), поэтому:
∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)
Учитывая, что F (φ (t)﴿ = F (x), из (1) и (4) следует формула замены
переменной в неопределённом интеграле:
∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)
Формально формула (5) получается заменой х на φ (t) и dх на φ′ (t)dt
В полученном после интегрирования по формуле (5) результате следует
перейти снова к переменной х. Это всегда возможно, так как по предпо-
ложению функция х = φ (t) монотонна.
Удачный выбор подстановки обычно представляет известные труд-
ности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифферен-
цирования и хорошо знать табличные интегралы.
Но все же можно установить ряд общих правил и некоторых приемов
интегрирования.
Правила интегрирования способом подстановки:
1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подинтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подинтегральной функции нужно заменить
новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифферен-
циал старой переменной (или выражение, содержащее этот диффе-
ренциал) через дифференциал новой переменной.
4. Производят замену под интегралом.
5. Находят полученный интеграл.
6. В результате переходят к старой переменной.
Примеры решения интегралов способом подстановки:
1. Найти: ∫ х²(3+2х ) dx
Решение:
сделаем подстановку 3+2х = t
Найдём дифференциал обеих частей подстановки:
6x dx = dt, откуда
Следовательно:
∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C
Заменив t на его выражение из подстановки, получим:
∫ x (3+2x ) dx = (3+2x ) + С
Решение:
= = ∫ е = е + C = е + C
Решение:
Решение:
Решение:
Понятие определённого интеграла.
Разность значений для любой первообразной функции при изменении аргумента от до называется определенный интегралом этой функции в пределах от а до b и обозначается:
а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Чтобы вычислить определенный интеграл нужно:
1. Найти соответствующий неопределенный интеграл
2. Подставить в полученное выражение вместо х сначала верхний предел интегрирования в, а затем нижний – а.
3. Из первого результата подстановки вычесть второй.
Коротко это правило записывается в виде формул так:
Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница.
Основные свойства определенного интеграла:
1. , где K=const
3. Если , то
4. Если функция неотрицательна на отрезке , где , то
При замене в определенном интеграле старой переменной интегрирования на новую необходимо старые пределы интегрирования заменить новыми. Эти новые пределы определяются выбранной подстановкой.
Применение определённого интеграла.
Площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой , осью абсцисс и двумя прямыми и вычисляется по формуле:
Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной кривой , не меняющей свой знак на , осью абсцисс и двумя прямыми и вычисляется по формуле:
С помощью определенного интеграла можно решать и ряд физических задач.
Например:
Если скорость прямолинейно движущегося тела является известной функцией времени t, то путь S, пройденный этим телом с момента времени t = t 1 до момента времени t = t 2 определяется формулой:
Если переменная сила является известной функцией пути S (при этом предполагается, что направление силы не меняется) то работа А, совершаемая этой силой на пути от до определяется формулой:
Примеры:
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = ; y = (x-2) 2 ; 0x.
Решение:
а) Построим графики функций: y = ; y = (x-2) 2
б) Определим фигуру, площадь которой нужно вычислить.
в) Определим пределы интегрирования, решая уравнение: = (x-2) 2 ; x = 1 ;
г) Вычисляем площадь заданной фигуры:
S = dx + 2 dx = 1 ед 2
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Y = x 2 ; x = y 2 .
Решение:
x 2 = ; x 4 = x ;
x (x 3 – 1) = 0
x 1 = 0 ; x 2 = 1
S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = ед 2
3. Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси 0x фигуры, ограниченной линиями: y = ; x = 1 .
Решение:
V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 ед. 3
Домашняя контрольная работа по математике
Варианты заданий.
Вариант №1
y = (x + 1) 2 ; y = 1 – x ; 0x
Вариант № 2
1. Решить систему уравнений тремя способами:
2. Вычислить интегралы заменой переменной:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = 6 – x ; y = x 2 + 4
Вариант №3.
1. Решить систему уравнений тремя способами:
2. Вычислить интегралы заменой переменной:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = - x 2 + 5 ; y = x + 3
Вариант №4.
1. Решить систему уравнений тремя способами:
2. Вычислить интегралы заменой переменной:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x 2 ; x = 3 ; Ox
Вариант №5.
1. Решить систему уравнений тремя способами:
2. Вычислить интегралы заменой переменной:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = 3 + 2x – x 2 ; Ox
Вариант №6.
1. Решить систему уравнений тремя способами:
2. Вычислить интегралы заменой переменной:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x + 6 ; y = 8 + 2x – x 2
Вариант № 7
1. Решить систему уравнений тремя способами:
2. Вычислить интегралы заменой переменной:
3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг Ox фигуры ограниченной линиями:
y = sin x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π
Вариант №8.
1. Решить систему уравнений тремя способами:
2. Вычислить интегралы заменой переменной:
Список литературы
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике Части 1, 2. М. АЙРИС ПРЕСС, 2006г.
2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики. М. Академия, 2008г.
3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М. Наука,2001г.
4. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа,2005г.
5. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. М. Высшая школа,2005г.
Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.
Пример 5
В качестве примера возьмём интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула 
,
и всё дело хотелось бы свести к ней.
Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква z . В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.
Но при замене у нас остаётся dx ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной t , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву t , и дифференциалу dx там совсем не место. Следует логичный вывод, что dx нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от t .
Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере - это , нам нужно найти дифференциал dt .
Теперь по правилам пропорции выражаем dx :
.
Таким образом:
.
А это уже самый что ни на есть табличный интеграл
(таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной t ).
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .
Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:
Проведем замену: , тогда
.
.
Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.
При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.
Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала новой переменной расписываться подробно не будет.
Вспомнить первый способ решения:
В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же.
Но, с точки зрения оформления задания, метод подведения функции под знак дифференциала гораздо короче.
Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.
Пример 6
Найти неопределенный интеграл.
.
Проведем замену:
;
.
Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл .
Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:
Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении .
Пример 7
Найти неопределенный интеграл
Выполнить проверку.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл.
.
Решение: Производим замену: .
.
Осталось выяснить, во что превратится xdx ? Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: x мы выразим из той же замены :
.
Пример 9
Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Пример 10
Найти неопределенный интеграл .
Наверняка некоторые обратили внимание, что в справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.
Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функцияи её производная . Например, как: .
Ф ункции , могут быть и не в произведении, а в ином сочетании.
В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.
В рассматриваемом Примере 10 замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за t знаменатель, то велики шансы, что и числитель xdx превратится во что-нибудь хорошее:
Замена: 
.
Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:
Следует отметить, что для дробей вроде , такой фокус уже не пройдет (точнее говоря, применить нужно будет не только прием замены).
Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование сложных дробей . Вот еще пара типовых примеров для самостоятельного решения на тот же метод.
Пример 11
Найти неопределенный интеграл
Пример 12
Найти неопределенный интеграл
Решения в конце урока.
Пример 13
Найти неопределенный интеграл
.
Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: 
, поскольку у нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто, похожее на его производную.
Общее правило:
За t обозначаем саму функцию (а не её производную).
В данном случае: . Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения
В этом примере нахождение dt распишем подробно, поскольку – сложная функция:
Или, короче:
.
По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток: 
.
Таким образом:
Пример 14
Найти неопределенный интеграл.
.
Пример для самостоятельного решения. Ответ совсем близко.
Внимательные читатели заметили, что мы рассмотрели мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведёны отдельные уроки 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7. Более того, далее даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье 7.2.
Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями
Пример 12: Решение:
Проведем замену:
Пример 14: Решение:
Проведем замену:
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.
ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t[α,β].
Тогда справедливо следующее равенство:
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).
Пример 19. Вычислить 
Положим t=2-х 2 . Тогда dt=d(2-х 2)=(2-х 2)"dx=-2xdx и xdx=-dt. Если х=0, то t=2-0 2 =2, и если х=1, то t=2-1 2 =1. Следовательно:
Пример 20. Вычислить
Воспользуемся заменой переменной . Тогда и . Если х=0, то t=1 и, если х=5, то t=4. Выполняя замену, получим.
Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.
Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:
То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.
Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.
Вычислить интегралы методом замены переменой:
Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся :
После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:
Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:
Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:
(Здесь (ln(cosx))’ — .)
Тип занятия: изучение нового материала.
Учебно-воспитательные задачи:
- научить учащихся применять метод интегрирования подстановкой;
- продолжать формировать умения и навыки применения интегрирования функций;
- продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач;
- воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений;
- напоминать, что только осознанное применение алгоритмов вычисления неопределенного интеграла позволит учащимся качественно усвоить изучаемую тему.
Обеспечение занятия:
- таблица основных формул интегрирования;
- карточки-задания для проверочной работы.
Студент должен знать: алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.
Студент должен уметь: применять полученные знания к вычислению неопределенных интегралов.
Мотивация познавательной деятельности студентов.
Преподаватель сообщает, что кроме метода непосредственного интегрирования существуют и другие методы вычисления неопределенных интегралов, одним из которых является метод подстановки. Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.
Ход занятия
I . Организационный момент.
II . Проверка домашнего задания.
Фронтальный опрос:
III . Повторение опорных знаний учащихся.
1) Повторить таблицу основных формул интегрирования.
2) Повторить в чем заключается метод непосредственного интегрирования.
Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
IV . Изучение нового материала.
Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула
Рассмотрим этот метод.
Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:
- Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
- Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
- Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
- Производят замену под интегралом.
- Находят полученный интеграл.
- В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.
Рассмотрим примеры.
Примеры. Найти интегралы:
1) )4
Введем подстановку:
Дифференцируя это равенство, имеем:
V . Применение знаний при решении типовых примеров.
VI . Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.
Вариант 1
Найти интегралы:
Вариант 2
Найти интегралы:
VII . Подведение итогов занятия.
VIII . Домашнее задание:
Г.Н. Яковлев, часть 1, §13.2, п.2, №13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)
